感应电能传输系统多谐振点和其自治振荡稳定性分析_唐春森pdf

　　物理学报 Acta Phys. Sin. Vol. 60 ，No. 4 (2011) 048401 感应电能传输系统多谐振点及其 * 自治振荡稳定性分析 唐春森1) 孙 跃1) 戴 欣1) 王智慧1) 苏玉刚1) 呼爱国2 ) 1)( ， 400044 ) 重庆大学自动化学院 重庆 2 )( ， 10 10 ， ) 奥克兰大学工程学院 奥克兰 新西兰 (20 10 9 1 ;20 10 11 10 ) 年 月 日收到 年 月 日收到修改稿 (IPT ) ， IPT 以串联型感应电能传输 系统为例 用非线性动力学的方法研究了 系统的多谐振点的判断及稳定性 . ， ， 分析问题 建立了系统的频闪映射模型 根据不动点理论推导出了系统的稳态响应分段解析函数式 并在此基础 ， ， ， 上 给出了系统谐振工作点的理论判据 结合系统庞加莱映射的雅可比矩阵特征值分布情况 给出了谐振点的稳定 . ， ， ， 性判据 结合具体实例系统 讨论了其多谐振点现象 并通过仿真和实验进行了验证 证明了本文理论分析结果的 正确性. 本文所提出的分析方法也可为其他类似谐振变换电路的建模及稳态工作点分析提供一定的理论参考. : (IPT )， ， ， 关键词 感应电能传输 频闪映射 雅可比矩阵 稳定性 PACS :84 . 30 . Jc ，05 . 45 . － a ， 合特性 其原副边间的耦合系数通常低于甚至远远 ［5 ］ 1. 引 言 低于0. 5 . 为了提高能量转换的效率和功率传输 ， 的能力 系统主电路拓扑通常采用原副边均谐振的 感应电能传输技术 (inductive power transfer ， ， 、 形式 主要有并联谐振 串联谐振以及串并混联谐 IPT )是一种借助高频电磁场将电能从电源端耦合 ［6 ］. ， 振等 然而开关谐振电路的应用 虽然大大提高 . ( ) 到负载端的电能传输新技术 由于能量发射 原边 ， 了系统的功率传输能力 却也使得系统数学模型呈 ( ) ， 与接收 副边 部分完全绝缘且可以相对移动 使得 ， 现出典型的高阶非线性特性 从而导致系统存在复 、 ， 电能传输过程具有更加安全 可靠及灵活等优点 ， 杂的动力学行为 最显著的在于多软开关工作点的 因此该技术在某些特殊领域具有无可比拟的优势. . ［7 ］ LCL 存在 文献 在 型谐振电路中发现了多软开 ， 如用其为生物体内植电装置充电或供电 则可以大 ， 关工作点的存在 并研究了参数变化对软开关工作 ［1 ，2 ］ ; 大降低手术的风险及病人的痛苦 用其为有轨 点的影响以及各工作点上的稳态特性. ， 电车供电 则可以彻底去除传统滑动或者滚动取电 谐振工作点是软开关工作点的一种特殊情况， ［3 ］ 、 ; 存在的电磁污染 不安全及不可靠等缺点 在易 即开关频率与谐振电压及电流的振荡频率一致的 、 . IPT 燃易爆环境 潮湿甚至水下环境用电设备的供电方 软开关工作点 系统主要有定频和浮频控制策 ［4 ］ ［8 ］ ， . ， . ， 面 本技术也提供了绿色安全的解决方案 因此 略两种常规控制方法 定频模式下 系统开关频 ， ， ， ， 近年来 对该技术的研究已成为电力电子领域的一 率固定 不随参数变化而变化 因此 在负载切换或 个热点. ， ， 者参数漂移时 系统很容易进入硬开关工作状态 IPT ， EMI. ， 系统的核心环节是电与磁的两次转换 即 引起较大的开关损耗和 而浮频模式下 系统开 ， ， 原边实现由电能到磁能的转换 副边实现磁能到电 关频率跟踪谐振频率 每次开关谐振电压或者电流 . ， ， 能的转换 虽然这与变压器功能类似 但是与变压 过零时切换开关管 可以保证系统总工作在软开关 器的紧密耦合特性不同，IPT 系统具有典型的松耦 状态，因此浮频模式相对于硬开关模式具有更好的 * ( :CDJZR10 170003 ) . 中央高校基本科研业务费 批准号 资助的课题  E-mail :cstang@ cqu . edu . cn 2011 中国物理学会 Chinese Physical Society http :/ / wulixb. ip hy . ac. cn 04840 1-1 物理学报 Acta Phys. Sin. Vol. 60 ，No. 4 (2011) 048401 . ， 参数自适应能力 然而由于系统的高阶非线性特 提出一种周期振荡稳态分析方法 给出一种新的谐 ， ， ， 性 使得系统存在多软开关工作点的同时 还可能 振点判据 并结合庞加莱映射方法推导出其自治振 ， IPT . ， 存在多谐振工作点 这使得浮频控制模式下的 荡稳定性判据 结合实例系统 分析了其谐振点分 . ［9— 12 ］ ， 系统具有更为复杂的动态过程 文献 发现 岔现象及各谐振点稳定性 并进行了仿真及实验 ，IPT . . 在某些情况下 系统存在频率跳变的现象 文献 验证 ［11— 14 ］基于阻抗分析方法对系统的频率稳定性 ， 问题进行了探讨 但是由于阻抗分析方法的基波近 2. 频闪映射模型及系统稳态响应 ， 似特性 使得这种方法的分析精度存在一定的限 ， ， 制 在分析系统频率分岔行为方面 甚至可能造成 感应电能传输系统实质上是一个可分段线 ］ . ， ， 错误的结果 化的高阶开关切换系统 稳态时 系统呈周期振荡 ， ， 频闪映射及庞加莱映射方法是分析非线性系 状态 各状态变量周期性重复 因此以工作周期为 ， DC-DC ， 统的两种典型离散化方法 广泛应用于 变换 采样时间间隔对系统进行采样 将得到一个稳态不 . ， 器的分岔及混沌等非线性行为分析及控制方 动点 据此 本文首先建立系统的频闪映射模型求 ［15— 19 ］ . ， ， 面 本文以原副边均串联谐振的感应电能传输 取其周期不动点 再以周期不动点为初值 计算各 ， . 系统为研究对象 基于频闪映射方法及不动点理论 状态变量的稳态响应函数 1 IPT 图 串联谐振型 系统主电路 1 IPT 图 所示为串联谐振型 系统的主电路拓 式中 ， S — S L R L M (R + R ) 扑 其中开关管 1 4 组成的全桥逆变器将直流电  s p s s L M  E .  M2 － L L M2 － L L M2 － L L M2 － L L  源 变换为高频交变电压加到谐振回路上 实际控 p s p s p s p s dc   ， ， 制中 由于开关管开通和关断过程的延迟 使得桥  1   C 0 0 0  臂存在短路的风险，因此通常要设置一定的死区时 A =  p ， ， . ，  MR L (R + R ) L  间 以避免引起电源短路 死区时间很小的情况下 p M p s L p  2 2 2 2  M － L L M － L L M － L L M － L L ， 逆变器输出电压波形为近似方波 这里为简化分  p s p s p s p s    ， ， 1 析 将开关管进行了理想化 即开关过程在瞬间完  0 0 0   C  ， . s 成 且导通损耗为零 1 IPT ， T 如图 所示的串联谐振型 系统 根据前面 － L － M B = s 0 0 . ， [ 2 2 ] 的理想开关假设 谐振回路的输入电压可以表示为 M － L L M － L L p s p s E ， t ∈ T ， (2 )式的解析解为 dc [ 0 ， ) t 2 uin (t)= (1) x (t)= (t)x (0 )+ (t － )B u ()d ，(3 ) { － E dc ， t ∈ [ T ，T ) ， Φ A t ∫0 Φ τ τ τ 2 式中Φ (t)= e . ，T . 其中 为系统稳态开关周期 ， ， ，(3 ) 半周期内 输入电压是恒定不变的 因此 分别取系统原副边的谐振电流及谐振电压组 式可以简化为 － 1 ， 成系统状态向量 取谐振回路输入电压为系统输入 x (t)= (t)x + ( (t)－ I )A B u . (4 ) Φ Φ 0 向量， x = ［i ，u ，i ，u ］，u = ［u ］， 即 则根据电路 x (T) x (T) n p p s s in 设 n 与 n + 1 为第 周期的初始状态及 原理可得系统状态空间模型为 ， (4 ) T 终止状态 则由 式可得稳态下系统以周期 为  x = A x + B u ， (2 ) 采样时间间隔的频闪映射模型为 04840 1-2 物理学报 Acta Phys. Sin. Vol. 60 ，No. 4 (2011) 048401 x n + 1 (T)= Φ (T)x n (T) x * (T)= I + Φ T － 1 2 ( ( ) ) 2 T － 1 + ( Φ ( 2 ) － I ) A BE dc . (5 ) × I － Φ T A － 1 BE dc ， (6 ) ( ( ) ) 2 ， 因为稳态时系统状态必然周期性重复 即 x * (T) ， 以此不动点 为周期初始值 则稳态周期响 x (T)= x (T)， (5 ) n + 1 n 则由 式的迭代方程可得状态 * 应为 x (T)= x (T)= x (T)， 的周期不动点为 n n + 1 即   * － 1 T (t)x (T)+ ( (t)－ I )A BE ， t ， Φ Φ dc ∈ [ 0 ， ) 2 x (t)= (7 ) { Φ (t)x * (T)+ ( Φ ( t ) － 2Φ ( t － T ) + I )A － 1 BE dc ， t ∈ [ T ，T ) . 2 2   i 电流 每次过零时关闭当前导通的一对开关管并 p ， 3. 谐振工作点及其稳定性分析 打开另一对互补的开关管 则逆变器的输入电压的 数学模型可以表示为 u = E sgn (i ). (9 ) in dc p 3. 1. 谐振工作点及其判断条件 ， 在动态过程中 系统各模态的切换取决于状态 ， i ， ， 在谐振工作点上 系统工作于软开关状态且开 变量 的方向 因此各模态的工作时间是不定的 p . 1 2 ， 关频率和振荡频率一致 为了便于准确判断一个开 设模态 和 的工作时间分别为ξ 1 和ξ 2 则系统模 ， 关频率是否对应于系统的一个谐振工作点 这里在 态切换的边界条件为每次切换时原边谐振电流为 前面得到的系统状态的周期不动点及稳态响应函 ， 零 即 ， H ( ，x )= Y ·( ( )x + ( ( ) 数基础上 从系统状态中分离出原边谐振电流分 1 ξ 1 n Φ ξ 1 n Φ ξ 1 － 1 ， 量 根据系统的软开关工作条件及谐振工作点的频 － I )A BE dc ) ， : 率特征 给出谐振工作点的判断条件如下 = 0 ， (10 ) i* (T)= Yx * (T)= 0 ， p H ( ， ，x )= Y ·( ( + )x 2 ξ 1 ξ 2 n Φ ξ 1 ξ 2 n T T + ( ( + ) i ( )= Yx = 0 ， Φ ξ 1 ξ 2 p 2 ( 2 ) － 2 ( )+ I )A － 1 BE ) Φ ξ 2 dc T i (t)= Yx (t) 0 ，t ， (8) ≠ ∈ 0 ， p ( 2 ) = 0 . (11) (10 )，(11) ， Y = ［1 0 0 0 ］ ， 由 式可知 模态持续时间ξ 1 和ξ 2 均 式中 为状态选择矩阵 用于从系 x . . 为状态 的函数 统状态中分离出原边谐振电流分量 n (4 ) 满足(8 )式的所有非零解均为系统的谐振周 由 式可得系统自治振荡模式下的周期迭代 ( ) ， . 模型 庞加莱映射模型 可表示为 期 每个谐振周期值对应系统的一个谐振工作点 F (x )= ( + )x + ( ( + ) (6 )，(7 ) ， Φ ξ ξ Φ ξ ξ 然而由于 式均为超越方程 因此很难推导 n 1 2 n 1 2 (8) ， － 1 出 式的解析解 通常只能借助于计算机进行数 － 2 ( )+ I )A BE . (12 ) Φ ξ 2 dc 值求解. (5 ) ， 与 式所示的频闪映射模型不同的是 上式 x 所示模型中模态持续时间ξ 和ξ 均为状态 的函 1 2 n 3. 2. 谐振点自治振荡稳定性分析 ， (10 ) (11) ZCS 数 由 和 式所示的 软开关边界条件所 前面已经推导出了系统稳态谐振点的判断方 . ， 确定 在稳态下 因为两个线性模态的持续时间相 ， ， ， (12 ) (5 ) 法 但是这些导出的稳态谐振点能否在浮频模式下 等 分别为半个稳态周期 则 和 式形式上完 ， . . ，(5 ) 稳定存在 还需要对其稳定性进行分析 在浮频控 全等价 物理意义上 式是针对固定频率的系统 ，IPT ， ， 制模式下 系统工作于自治振荡状态 全桥逆变 周期采样模型 对硬开关和软开关运行模式均适 ， ， (12 ) 器根据原边谐振电流的方向实时切换 即原边谐振 用 而 式为系统软开关运行模式下的周期迭代 04840 1-3 物理学报 Acta Phys. Sin. Vol. 60 ，No. 4 (2011) 048401 ［20 ］ ， 模型 满足条件的相轨迹在稳态时正好周期性地穿 Floquet ， 根据 定理 可知 如果系统雅可比矩 . ， ， 1 ， 过软开关边界条件所确定的庞加莱截面 因此 为 阵的所有特征值λ 均位于单位圆内 即模均小于 (8) ， 了判断 式所确定的谐振工作点的自治振荡稳定 则对应谐振工作点的自治振荡是渐近稳定的 若有 * 1 ， ， x (12 ) 一个特征值的模大于 则对应谐振工作点的自治 性 我们可以以周期不动点 为 式所示周期 ， x ， 振荡是不稳定的. 迭代模型的初始状态 在干扰 Δ 作用下 经历一个 ， ， 周期后 观察此干扰的作用是被抑制还是放大 即 . (12 ) 4. 多谐振点现象研究 是否收敛于初始状态点 这可以通过分析 式的 雅可比矩阵特征值的分布情况来实现. 定义系统雅可比(Jacobi)算子为 这里将对一个串联谐振型 IPT 系统的多谐振点 现象进行研究， D F = F + F · ξ 1 + F · ξ 2 . (13 ) 利用前面的理论分析结果确定该系 x n ( ) ( ) ， x n ξ 1 x ξ 2 x 统的多个谐振点的工作频率 并分析各工作点的自 n n ， (10 ) (11) ， 治振荡稳定性 分析结果通过仿真和实验结果进行 由软开关边界条件方程 和 式 根据隐函数 了验证. ， 求导法则 可得 ξ 1 = － H 1 － 1 · H 1 ， (14 ) 4. 1. 多谐振点现象 x n ( ξ 1 ) ( x n ) 1 IPT ， － 1 对图 所示的串联谐振型 系统 假设其参 ξ 2 = － H2 · H2 H2 ξ 1 . (15 ) + · 1 . x n ( ξ 2 ) ( x n ξ 1 x n ) 数取值如表 所示 (14 )，(15 )式代入(13 )式可得系统雅可比矩阵为 表 1 串联谐振型IPT 系统参数表 F F H 1 － 1 H 1 参数 取值 D F = － · · x n ( ) ( ) L / H x ξ 原边谐振电感 μ 85. 4 n 1 ξ 1 x n p F H2 － 1 H2 H2 原边谐振电容 Cp / μF 0. 47 － · · － ( ) [ ( ) L / H 副边谐振电感 μ 85. 5 ξ 2 ξ 2 x n ξ 1 s － 1 副边谐振电容 Cs / μF 0. 48 × H 1 · H 1 ， (16 ) 原边串联等效阻抗R / Ω 0. 12 ( ξ 1 ) ( x n ) ] p R / 副边串联等效阻抗 Ω 0. 12 式中各偏导项的计算可由(10 )— (12 )式导出 s M / H 25. 4 互感 μ F = ( + )， x Φ ξ 1 ξ 2 负载R L / Ω 1. 6 n H 1 = Y · ( )， (8) ， Φ ξ 1 根据 式所示谐振工作点判断条件 可以得 x n 1 ， ， 到系统在表 所示参数下 具有三个谐振工作点 如 H2 = Y · ( + )， 2 . Φ ξ 1 ξ 2 表 所示 x n 表2 串联谐振型IPT 系统谐振工作点 F = ( + )(A x + BE )， Φ ξ 1 ξ 2 n dc (s) (kHz) ξ 1 谐振工作点 周期值 μ 频率值 谐振点 1 34 . 07 29. 35 H 1 = Y ·( ( )A x + ( )BE )， Φ ξ 1 n Φ ξ 1 dc 谐振点2 39. 73 25. 17 ξ 1 谐振点3 44 . 95 22. 25 H2 = Y · ( + )(A x + BE )， Φ ξ 1 ξ 2 n dc ξ 1 三个谐振工作点对应的逆变器输出电压及原 F 2 . = ( + )A x 边谐振电流波形如图 所示 Φ ξ 1 ξ 2 n ξ 2 ， (16 ) 这三个谐振点上 由 式可得系统雅可比矩 + ( )(( )－ 2I )BE ， Φ ξ 2 Φ ξ 1 dc 3 . 3 ， 1 阵特征值如表 所示 由表 可以看出 工作点 和 H2 3 ， ， 的特征值均分布在单位圆内 为稳定工作点 而工 = Y · ［ ( + )A x Φ ξ 1 ξ 2 n ξ 2 作点2 ， 有一个特征值分布在单位圆外 为不稳定工 + ( )(( )－ 2I )BE ］. Φ ξ 2 Φ ξ 1 dc 作点. 04840 1-4 物理学报 Acta Phys. Sin. Vol. 60 ，No. 4 (2011) 048401 2 (a) 1 ;(b) 2 ;(c) 3 图 逆变器输出电压及原边谐振电流稳态理论波形 谐振点 谐振点 谐振点 表3 系统谐振点雅可比矩阵特征值 特征值 λ 1 λ2 λ3 λ4 λ m ax 谐振点 1 0. 02 18 + 0. 9 168i 0. 02 18 － 0. 9 168i 0. 7839 0 0. 9 170 谐振点2 0. 4846 + 0. 6606 i 0. 4846 － 0. 6606 i 9. 4 118 0 9. 4 118 谐振点3 － 0. 40 18 + 0. 76 19 i － 0. 40 18 － 0. 76 19 i 0. 8290 0 0. 86 13 ， ，PSpice 将进入硬开关工作模式 因此 仿线. 仿真及实验验证 本文方法的计算结果是准确有效的. 4 . 2. 1. ， 多谐振工作点验证 为了对理论结果进行实验验证 我们搭建了以 ， PSpice 1 IPT 为了验证前面理论分析结果 在 软件中 图 所示电路为主电路的串联谐振型 实验系 1 ， ， 1 . 建立了图 所示系统的仿真模型 以定频模式控制 统 系统主要元器件参数测量值如表 所示 实验 ， ， ， 系统分别工作在各理论谐振频率点上 稳态时逆变 中 用信号发生器产生控制信号 该信号经驱动电 3 . 器输出电压及原边谐振电流仿真波形分别如图 路控制全桥逆变器的开关管 通过信号发生器扫 . ， 4 . 所示 频 我们得到实验系统的谐振工作点如表 所示 为 3 ， ， 4 、 由图 可以看出 系统在各理论谐振点上均工 了便于对比分析 表 中同时列出了理论计算结果 ZCS ， 2 3 、PSpice 作于 软开关状态 对比图 和图 中各谐振点 交流阻抗分析结果 仿真验证结果及实验测 ， . . 的稳态波形 可以看出符合得很好 另外当系统工 试结果 作频率偏离各谐振点时，PSpice 仿线 物理学报 Acta Phys. Sin. Vol. 60 ，No. 4 (2011) 048401 ， 在各谐振点上 逆变器的输出电压及原边谐振 4 . 电流实验波形如图 所示 3 ( ) ( ) PSpice 图 逆变器输出电压  及原边谐振电流 ◇ 波形 仿 线 IPT ( :kHz) 表 串联谐振型 系统谐振工作点 单位 谐振工作点 理论值 交流阻抗分析 PSpice 仿线 (a ) 图 逆变器输出电压及原边谐振电流波形实验波形 谐 谐振点2 25. 17 24 . 78 25. 17 25. 2 振点 1 ;(b)谐振点2 ;(c)谐振点3 谐振点3 22. 25 22. 29 22. 25 22. 2 2 4 对比图 至图 中各谐振点的电压电流波形可 4 ， 从表 可以看出 交流阻抗分析结果与本文的 ， ， 以看出 理论与实验波形基本一致 只是实验中由 ， ， 理论计算结果比较接近 但存在一定的偏差 而 于开关管存在一定的导通压降及开通与关断时间， PSpice ， 仿真结果与理论值完全一致 实验测试结果 ， 使得逆变器输出电压波形存在一定的畸变 使得加 与理论结果也符合得很好，考虑到实验过程中存在 在谐振网络上的电压有效值有所偏低，但这并不影 参数漂移以及测量精度有限等问题，可以看出实验 响系统的谐振工作频率. 测试值与理论值基本一致. ， 4 因此 由表 可知本文所 4 . 2. 2. 谐振工作点稳定性验证 提理论方法具有较高的准确性，计算结果更接近实 将系统切换到浮动频率控制模式以检验系统 际情况. 谐振工作点的自治振荡稳定性，这里为了更好地反 04840 1-6 物理学报 Acta Phys. Sin. Vol. 60 ，No. 4 (2011) 048401 ， ， 6 ， 映稳定性测试效果 我们设计了负载扰动实验 在 振电流波形如图 所示 图中上半部分为扰动过 ， ， 6 (a )— (c ) 稳态时通过开关电路给系统负载并联上一个阻值 程波形图 下半部分为局部展开图 图 ， ， 、 相同的电阻 然后再断开该并联电阻 从而形成一 分别显示了扰动前 扰动过程中及扰动后系统的 50 % . 5 . . 个 的负载波动 负载扰动电路如图 所示 稳态波形 6 ， 由图 所示的实验结果可以看出 浮频控制模 ， 3 ， 式下 负载扰动前系统工作在谐振点 上 谐振频率

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